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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% 信息设置
\title{《常微分方程》第二章：初等积分法}
\author{LQW}
%\date{2025年9月21日}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
\begin{frame}{目录}
  \tableofcontents
\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \begin{frame}{目录}

% \begin{enumerate}\itemsep0.2em

% \item[2.1.]   {\color{red}恰当方程：} \\ 判断并求解恰当方程。%E1,2, P1,3,5,7. 
% \item[2.2.]   {\color{red}变量分离的方程：} \\ 求解变量分离方程。求解带空气阻力的落体运动的微分方程。%E1,2,3, P1,2,3. 
% \item[2.3.]   {\color{red}一阶线性方程：} \\ 求解一阶线性微分方程。求解RL串联电路的微分方程。%E1,2,3, P1,2,3. 
% \item[2.4.]   {\color{red}初等变换法：} \\ 用变量代换求解微分方程。求解伯努利方程和里卡蒂方程的特例。%E1,2,3, P1,2,3. 
% \item[2.5.]   {\color{red}积分因子法：} \\ 使用积分因子求解微分方程。%E1,2,3, P1. 
% \item[2.6.]   {\color{red}应用举例：} \\ 求正交轨线族。求解人口增长模型。求解捕食者被捕食者模型。%E1,2,3, P4,5,6. 

% \end{enumerate}

% \end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{恰当方程}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.1. 恰当方程}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：什么是恰当方程？}

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  称一阶微分方程 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 为恰当的，如果存在一个可微函数 $\Phi(x,y)$, 使得
$d\Phi(x,y) = P(x,y)dx+Q(x,y)dy.$

\item  恰当方程的通解：$\Phi(x,y)=C$, 其中 $C$ 是任意常数。

\item  例如，微分方程 $xdy+ydx=0$ 是恰当的，因为这个方程可以写成 $d(xy)=0$. 通解是 $xy=C$.  

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.2. 例子2.1.1 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问：求解微分方程 $2xy^3dx+3x^2y^2dy=0.$ }

\item  答：方程左边正好是函数 $\Phi(x,y)=x^2y^3$ 的全微分，也就是说，
$$d(x^2y^3) = 2xy^3dx + 3x^2y^2dy.$$
所以该微分方程的通积分为 $x^2y^3=C$, 其中 $C$ 是任意常数。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.3. 例子2.1.1 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.9\textwidth]{pic/ode-example-2-1-1.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{2.1.4. 使用 sympy 模块的隐函数作图画出积分曲线族}

\begin{python}
import sympy as sy
import sympy.plotting as syp
x, y = sy.symbols('x y')
C=[-1000,-300,-100,-50,-10,-4,-1,-0.2,
	0,0.2,1,4,10,50,100,300,1000]
p = None
for k in range(len(C)):
    G = x**2*y**3-C[k]   
    p2 = syp.plot_implicit(G,(x,-5,5),(y,-5,5),show=False,line_color='b')
    if p:
        p.extend(p2)
    else:
        p = p2
p.show(); #p.save('ode-example-2-1-1.png')
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.5. 庞加莱引理（定理2.1.）}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：如何判断 $Pdx+Qdy=0$ 是不是恰当方程？}

\item  解答：定义在矩形区域 $$R=\{(x,y): \alpha<x<\beta, \,\, \gamma<y<\delta\}$$ 中的微分方程 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 是恰当的，当且仅当下述等式在这个区域中恒成立：$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.$$

\item  证明：
\begin{itemize}
\item  必要性：设微分方程 $Pdx+Qdy=0$ 是恰当的。
\item  充分性：设 $P'_y=Q'_x$ 在矩形区域 $R$ 中处处成立。
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.6. 庞加莱引理中的三个二元函数 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/poincare-lemma-2.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.7. 定理2.1的证明（必要性）}

\begin{enumerate}
\item  微分方程 $Pdx+Qdy=0$ 是恰当的。
\item  按定义，存在 $\Phi$ 使得 $d\Phi = Pdx+Qdy$, 即 $\Phi'_x=P$, $\Phi'_y=Q$.
\item  因为混合偏导数与求导次序无关，所以有 $\Phi''_{xy}=\Phi''_{yx}$.
\item  所以有 $P'_y=Q'_x$. 
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.8. 定理2.1的证明（充分性）}

\begin{enumerate}%\itemsep0.1em
\item  设 $P'_y=Q'_x$ 在矩形区域 $R$ 中处处成立。要寻找 $\Phi$, 使得 $\Phi'_x=P$, $\Phi'_y=Q$.
\item  先求解第一个等式 $\Phi'_x=P$, 得到如下等式，其中 $\psi(y)$ 待定：
 $$\Phi(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y)dx+\psi(y).$$ 
 
\item  再使用第二个等式 $\Phi'_y=Q$, 希望从中可以解出 $\psi(y)$. 从第二个等式得到
$$\int_{x_0}^{x} P'_y(x,y)dx + \psi'(y) = Q(x,y).$$

\item  代入题设条件 $P'_y=Q'_x$, 可以计算上式左边的积分，根据NL公式得到
$$Q(x,y)-Q(x_0,y) + \psi'(y) = Q(x,y). $$
两边约去 $Q(x,y)$ 可知 $\psi(y)$ 是 $Q(x_0,y)$ 对变量 $y$ 的积分。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.9. 例子2.1.2 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $(2x\sin y + 3x^2y)dx + (x^3+x^2\cos y+y^2)dy=0$. }

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  这个方程是 $Pdx+Qdy=0$ 的形式。计算偏导数可知，
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
P(x,y) &=& 2x\sin y + 3x^2y \\
Q(x,y) &=& x^3+x^2\cos y+y^2
\end{array}\right.
\,\,\Rightarrow\,\, 
\left\{\begin{array}{rcl}
P'_y(x,y) &=& 2x\cos y + 3x^2 \\
Q'_x(x,y) &=& 3x^2+2x\cos y+0.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item  因为 $P'_y=Q'_x$, 由庞加莱引理可知，这是一个恰当方程。
\item  设 $d\Phi(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$, 这里 $\Phi(x,y)$ 待定。
\item  从  $\Phi'_x=P$ 与 $\Phi'_y=Q$ 凑出 $\Phi=x^2\sin y +x^3y+\frac{1}{3}y^3$. 
\item  微分方程的通解为 $x^2\sin y +x^3y+\frac{1}{3}y^3=C$, 其中 $C$ 是任意常数。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.10. 曲线积分对积分路径的依赖性 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：一个曲线积分什么时候与积分路径无关？}

\item  解答：
如果成立下述条件：
\begin{enumerate}
\item  设 $(x,y)$ 平面上有被积表达式 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$, 不一定处处有定义。
\item  设从 A 点到达 B 点有两条路径 $L_1$ 与 $L_2$. 
\item  设在区域 $\Omega$  内，路径 $L_1$ 可以连续地变化为路径 $L_2$.
\item  设在区域 $\Omega$ 内，处处成立 $P'_y(x,y) = Q'_x(x,y)$. 
\end{enumerate}
那么这个积分表达式从 A 点到 B 点的曲线积分与路径无关，即有
$$\int_{L_1} Pdx+Qdy = \int_{L_2} Pdx+Qdy. $$

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.11. 曲线积分的积分路径 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.6\textwidth]{pic/integral-paths.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.12. 微分方程与第二类曲线积分}

\begin{itemize}
\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：下述求解过程有没有问题？} 

\begin{eqnarray*}
\frac{xdy - ydx}{x^2+y^2} &=& 0 \\
d\left( \arctan \frac{y}{x} \right) &=& \frac{xdy - ydx}{x^2+y^2} \\
\arctan \frac{y}{x} &=& C.
\end{eqnarray*}

\item  解答：要考虑定义区域。在不包含原点的单连通区域上，存在连续的解函数。在环域 $0<x^2+y^2<1$ 中，不存在连续的解函数。另外，上述通解没考虑 $x=0$ 但是 $y\neq 0$ 的地方。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.13. 第二类曲线积分的例子}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $L$ 是沿单位圆按顺时针方向从点 $A(0,-1)$ 到点 $B(0,1)$ 的有向曲线，计算下述第二类曲线积分：
\begin{eqnarray*}
\int_L \frac{xdy - ydx}{x^2+y^2}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  解答：按定义，将有向曲线分成小段，按顺时针方向，分点记为 $C,D,\cdots$. 考虑极坐标 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$, 则所求积分正好为 $$\int_L d\theta = \angle AOC + \angle COD + \cdots = -\pi, $$
其中的负号是因为我们约定逆时针方向的角度为正。

\item  注：这个积分表达式在除去原点之外的区域 $\Omega$ 都有定义。但从点 $A$ 到点 $B$ 的有向曲线，无法在区域 $\Omega$ 中，从顺时针渐渐变成逆时针。
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1.14. 第二类曲线积分的例子的插图}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{pic/ode-example-2-1-2.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{变量分离的方程}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.1. 变量分离的方程}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：什么是变量分离的方程？什么是分离变量法？}

\item  解答：

\begin{enumerate}

\item  变量分离的方程是指这样的方程：$$P(x)dx+Q(y)dy=0.$$

\item  分离变量法是把与两个变量有关的项移到方程的两边，然后各自积分：
\begin{eqnarray*}
P(x)dx+Q(y)dy &=& 0, \\
P(x)dx &=& - Q(y)dy,\\
\int_{x_0}^{x}P(x)dx &=& \int_{y_0}^{y} - Q(y)dy.
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.2. 例子2.2.1 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程，并作出积分曲线的草图：$$(x^2+1)(y^2-1)dx + xydy = 0. $$ }

\vspace{-0.3cm}

\item  解答：这是一个可以分离变量的方程。
\begin{enumerate}
\item  移项，等式两边同时除以 $x(y^2-1)$, 化简，再积分可得
\begin{eqnarray*}
\frac{(x^2+1)dx}{x} = \frac{-ydy}{y^2-1} \,\,&\Rightarrow&\,\, 2xdx + \frac{2}{x}dx = -\frac{d(y^2-1)}{y^2-1} \\
\,\,&\Rightarrow&\,\, x^2+\ln(x^2) = - \ln |y^2-1| +C. 
\end{eqnarray*}

\item  通积分为 $y^2=1+Cx^{-2}\exp(-x^2)$, 其中 $C>0$ 是任意常数。
\item  检验因式 $x(y^2-1)=0$ 是否为特解, 可知都是特解：$x=0$ 和 $y=\pm 1$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.3. 例子2.2.1 的积分曲线族}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-example-2-2-1.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.4. 例子2.2.2 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：求解微分方程，并作出积分曲线的草图：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}y^{1/3}. $$
}

\item  答：可以分离变量。
\begin{enumerate}
\item  首先从原方程得到 $2y^{-1/3}dy=3dx$. 
\item  然后两边积分得到 $3y^{2/3}=3x+C$. 
\item  所以通解为 $y^2=(x+C)^3$, 定义区间 $x\ge -C$, 其中 $C$ 是任意常数。
\item  还有特解 $y=0$, 定义区间 $-\infty<x<\infty$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.5. 例子2.2.2 的积分曲线族：$C=4,3,2,1,0,-1,-2$ }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-example-2-2-2.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.6. 例子2.2.3 （物体在空气中的降落与特技跳伞）}

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：%（本例子不在考试范围，但无疑是一个有趣的实际问题，可以很好地练习数学建模和编程。设计实验来验证这个模型。）
物体在空气中下落，设空气阻力与物体速度的平方成反比，根据牛顿定律得出微分方程，求解方程，并画出积分曲线族的图形。} 

\item  解答：设垂直地面向下的方向为 $x$ 轴的正向。
\begin{eqnarray}
& mx''(t) &= mg -kx'(t)^2 \\
\Rightarrow & v'(t) &= g - km^{-1} v(t) \\
\Rightarrow & \frac{dv}{dt} &= g - km^{-1} v^2 \\
\Rightarrow & \frac{dv}{g - km^{-1} v^2} &= dt
\end{eqnarray}
当 $mg-kv^2=0$ 时，因为分母为零，上述计算无法进行，而 $v=\sqrt\frac{mg}{k}$ 正好是重力和空气阻力达到平衡时的下降速度。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.7. 例子2.2.3. 高空跳伞受力分析 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.4\textwidth]{pic/sky-dive.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.2.8. 例子2.2.3 的积分曲线族（根据初始速度不同） }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-example-2-2-3.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{2.2.9. 使用 matplotlib 模块的plot 函数画出积分曲线族}

{\footnotesize
\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
k=1; g=10; m=2; a=np.sqrt(k*g/m); b=np.sqrt(m*g/k)
v0=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]; C=(v0+b)/(v0-b); t=np.linspace(0,1,21)

fig=plt.figure(); ax=fig.add_subplot(111)

for k in range(len(v0)):
    v=b*(C[k]*np.exp(2*a*t)+1)/(C[k]*np.exp(2*a*t)-1)
    ax.plot(t,v)

ax.hlines(y=0,xmin=0,xmax=1); ax.vlines(x=0,ymin=0,ymax=10)
ax.set_xlabel('t = time'); ax.set_ylabel('v = velocity')
fig.savefig('ode-example-2-2-3.png')
\end{python}
}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{一阶线性常微分方程}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.1. 一阶线性常微分方程}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：什么是一阶线性常微分方程？}

\item  解答：从未知函数 $y$ 与其导函数 $\frac{dy}{dx}$ 来看，这个表达式是线性的。
\vspace{0.3cm}
\begin{itemize}\itemsep1em
\item  一阶线性常微分方程，非齐次：$\frac{dy}{dx} + p(x)y=q(x)$.
\item  一阶线性常微分方程，齐次：$\frac{dy}{dx} + p(x)y=0$.
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.2. 例子2.3.1 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $y'(x)+y(x)/x=x^3$. } 

\item  解答：考虑积分因子 $\mu(x)=x$. 微分方程化为 $$xy'+y=x^4.$$
于是可以写成 $(xy)'=x^4$. 两边积分可得 $$xy=x^5/5+C.$$
约去一个 $x$ 可得通积分 $y=x^4/5 + C/x$, 其中 $C$ 是任意常数。

\item  注意这个通解的定义区间是 $(-\infty,0)$ 或 $(0,\infty)$. 但不是并集。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.3.  例子2.3.1 的两个解函数 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-1-1-4-solution.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.4. 例子2.3.1 的积分曲线族 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{pic/ode-example-2-3-1.png}
\end{center}

\vspace{-1.5cm}
$$y=\frac{x^4}{5} + \frac{C}{x},\hspace{0.5cm} C=-20,-10,-6,-2,-1,0,1,2,6,10,20.$$

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.5. 例子2.3.2}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，设 $a>0$, 考虑微分方程 $$\frac{dy}{dx} +ay =f(x).$$ }
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}求这个微分方程的通解。} 
\item  {\color{red}为什么有的解是周期函数，有的解不是周期函数？} 
\item  {\color{red}作出微分方程 $y'(x)+2y(x)=\sin x$ 的积分曲线族。} 
\end{enumerate}

\item  解答：第3小题的通积分是 $$y=-\frac{1}{5}\cos x + \frac{2}{5}\sin x + C\exp(-2x),$$ 其中 $C$ 是任意常数。
只有当 $C=0$ 时，解函数是周期函数。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.6. 例子2.3.2 的积分曲线族 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-example-2-3-2.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.7. 例子2.3.3}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：由电源、电感和电阻组成的串联电路如图所示。求电键闭合后电流强度随时间的变化规律。}

%（这是很好的数学建模实验选题。）

%\item  答：

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.5\textwidth]{pic/ode-example-2-3-3.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.3.8. 例子2.3.3 的解答}

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  设电压为 $E$, 电阻为 $R$, 电感为 $L$, 电流强度为 $i(t)$. 

\item  根据基尔霍夫定律，电路各部分的电压降的总和等于电源的电压降，
$$L\frac{di}{dt} + Ri = E.$$

\item  这是一个一阶线性常微分方程，可以求得通解为 $$i(t) = \frac{E}{R} + C\exp\left(-\frac{R}{L}t\right). $$

\item  电键闭合的一段时间后，电流强度趋于稳定值 $E/R$.  

\end{enumerate}

\end{frame}

%\setlength{\parskip}{1em}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{初等变换法}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.4. 初等变换法}

{\color{red}例子2.4.1. 求解微分方程 $$\frac{dy}{dx} = f(x+y).$$ } 

解答：需要对未知函数进行变量代换。
设变量代换 $u=x+y$, 将未知函数从 $y$ 换到 $u$. 原方程化为
$$\frac{du}{dx} -1 = f(u). $$
分离变量可得
$$ \frac{du}{1+f(u)} = dx. $$
两边积分，得到通解。

\newpage 

{\color{red}例子2.4.2. 求解微分方程 $$\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2+\sin x}{2y}.$$ } 

解答：考虑变量代换 $v(x)=y(x)^2$, 将未知函数从 $y(x)$ 换到 $v(x)$. 方程化为 $$\frac{dv}{dx} = xv+\sin x.$$
这是一阶线性常微分方程。


\newpage 

{\color{red} 例子2.4.3. 求解微分方程 
$$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}.$$ } 

解答：
考虑变量代换 $y=xu$. 则可以预见到，右边的 $x$ 不见了。
\begin{eqnarray*}
\frac{d(xu)}{dx}  = \frac{x+xu}{x-xu} 
\Rightarrow \frac{xdu+udx}{dx} = \frac{1+u}{1-u} 
\Rightarrow x\frac{du}{dx} = \frac{1+u}{1-u} - u.
\end{eqnarray*}

分离变量法，可得通解为 $$\sqrt{x^2+y^2} = C\exp(\arctan \frac{y}{x}). $$

\newpage 

扩展思考：为求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$, 我们考虑变量代换 $y=xu$. 
微分方程化为 $\frac{du}{dx} = (\frac{1+u}{1-u} - u)/x$. 
这个变量代换可以理解为从$(x,y)$空间变到$(x,u)$空间，其中 $u=y/x$. 
试从D-module的角度，解释这两个微分方程之间的变换过程。

详见DEBT目录。

\newpage 

例子2.4.3 的积分曲线族

\begin{center}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.6\textwidth]{pic/ode-example-2-4-3.png}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{2.4.5. 例子2.4.4 }
%
%\begin{itemize}
%
%\item  {\color{red} 问题：求解微分方程 $$\frac{dy}{dx} = f\left( \frac{ax+by+c}{mx+ny+\ell} \right). $$ } 
%
%\item  解答：（解答过于繁琐，不作为课程学习要求）
%
%
%\end{itemize}
%
%\end{frame}

\newpage 
\setlength{\parskip}{1em}

{\color{red}问题：求解伯努利方程 $\frac{dy}{dx} +p(x)y = q(x)y^n. $ } 

解答：{\color{blue}考虑变量代换 $z(x)=y(x)^{1-n}$.} 可以化为一阶线性常微分方程。

从 $z=y^{1-n}$ 可得 $\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$. 

将原方程中的 $y$ 与 $\frac{dy}{dx}$ 都换成 $z$ 与 $\frac{dz}{dx}$, 结果关于 $z$ 与 $\frac{dz}{dx}$ 是线性的：
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{1-n}y^n \frac{dz}{dx} +p(x) y = q(x) y^n  \Rightarrow \frac{1}{1-n} \frac{dz}{dx} +p(x) z = q(x). 
\end{eqnarray*}

注：这是一类可以用初等方法求解的{\color{blue}非线性常微分方程}。

\newpage 

{\color{red}问题：求解里卡蒂方程 $$\frac{dy}{dx} = p(x)y^2+q(x)y+r(x). $$ } 

一些思考：
当 $p(x)$ 为零函数时，这是线性微分方程。%相当于 $f(x,y)$ 关于 $y$ 是一次次多项式。

当 $p(x)$ 不是零函数时，这相当于 $f(x,y)$ 关于 $y$ 是二次多项式。
%\item  当 $p(x)$ 不为零函数时，这是形式上比较简单的一阶非线性方程。

\newpage 

考虑变量代换 $z(x)=xy(x)$, 可以求解里卡蒂方程的一个特例：$$\frac{dy}{dx} = x^{-2} + y^2. $$

刘维尔证明里卡蒂方程的另一个特例无法用初等积分法求解：$$\frac{dy}{dx} = y^2 + x^2. $$

\newpage 

{\color{red}问题：讲讲伯努利、里卡蒂、刘维尔研究微分方程的历史故事。}

回答：Bernoulli 1700 - 1784, Riccati 1676 - 1754, Liouville 1809 - 1882. 
%\begin{itemize}
%\item  Daniel Bernoulli (1700 - 1784): 
%\item  Jacopo Riccati (1676 - 1754): %Jacopo Francesco Riccati was a Venetian mathematician and jurist from Venice. 
%\item  Joseph Liouville (1809 - 1882): 
%\end{itemize}

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.4\textheight, width=0.2\textwidth]{pic/daniel-bernoulli-2.jpg}
\hspace{0.2cm}
\includegraphics [height=0.4\textheight, width=0.2\textwidth]{pic/jacopo-riccati-2.jpg}
\hspace{0.2cm}
\includegraphics [height=0.4\textheight, width=0.2\textwidth]{pic/joseph-liouville-2.jpg}
\caption{Daniel Bernoulli, Jacopo Riccati, Joseph Liouville }
\end{figure}
\end{center}

%{\footnotesize\url{https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Daniel/}}


\end{frame}

\setlength{\parskip}{1em}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 每页增加与上面标题行的距离
\addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace*{0.5em}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{积分因子法}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.5. 积分因子法}
    
{\color{red}问题：什么是积分因子法？}

解答：对微分方程 $P(x,y)dx + Q(x,y)dy =0$, 寻找积分因子 $\mu(x,y)$ 使得 
$$ \mu(x,y)P(x,y)dx + \mu(x,y)Q(x,y)dy = 0$$
成为恰当方程，即等式左边可以写成一个原函数的全微分的形式：
$$ \mu(x,y)P(x,y)dx + \mu(x,y)Q(x,y)dy = d\Phi(x,y).$$
这种方法称为积分因子法。

\newpage 

{\color{red}例子2.5.1. 分组求积分因子,求解微分方程 $(3x^3+y)dx + (2x^2y-x)dy = 0. $ } 

解答：分组写成 $(3x^3dx + 2x^2ydy ) + (ydx - xdy) = 0. $

等式两边同时除以 $x^2$, 得到如下，看出这是一个全微分，
$$(3xdx + 2ydy ) + \frac{ydx - xdy}{x^2} = 0. $$

注：第二部分可以写成 $\displaystyle d\left( \frac{y}{x} \right) = \frac{xdy - ydx}{x^2}. $

\newpage 

{\color{red}例子2.5.2. 求解微分方程 $(x^3y - 2y^2)dx + x^4dy =0$.  } 

解答：
两边乘以 $\frac{1}{y^2}$, 可得
$\left( \frac{x^3}{y} - 2\right) dx + x^4\frac{dy}{y^2} =0. $

变量代换 $z=\frac{1}{y}$, 可得
$\left( x^3z - 2\right) dx - x^4 dz =0. $

换种写法，可见这个方程关于 $z$ 与 $\frac{dz}{dx}$ 是线性的，
$$ x^4\frac{dz}{dx} -x^3z + 2 =0. $$ 

验证被舍弃的情形 $y=0$ 是否也是解函数。

\newpage 

{\color{red}例子2.5.3. 求解微分方程 $(x+y)dx - (x-y)dy = 0$. } 

解答：
考虑积分因子 $\mu(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2}. $

通积分为 $\sqrt{x^2+y^2} = C\exp\left( \arctan\frac{y}{x} \right)$, 其中 $C$ 是任意常数。 

画出积分曲线族，是以原点为焦点的螺旋线族。

另解：
先分组写成 $(xdx+ydy) - (xdy-ydx) =0$.  

然后试图写成全微分的形式，测试极坐标变换 $r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\tan\theta=\frac{y}{x}$, 
$$ \frac{1}{2} d(x^2+y^2) - \,?\, d (\frac{y}{x}) =0. $$

\newpage 

{\color{red}例子2.5.3.（续）$d\theta$ 与 $d(\tan\theta)$ 有什么联系吗？} 

解答：从微分的计算，可以得到 
\begin{eqnarray*}
d(\tan\theta) &=& d\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right) = \frac{\cos\theta \cdot d(\sin\theta) - \sin\theta \cdot d (\cos\theta)}{\cos^2\theta} \\
&=& \frac{ ( \cos^2 \theta + \sin^2\theta) \cdot d\theta}{\cos^2\theta}
=(1+\tan^2\theta)d\theta \\
\frac{d(\tan\theta)}{1+\tan^2\theta} &=& d\theta
\end{eqnarray*}

若记 $u=\tan\theta$, 则 $du$ 与 $d\theta$ 的关系为 
$\displaystyle\frac{du}{1+u^2} = d\theta.$ 

\newpage 

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{pic/ode-example-2-5-3.png}
\end{center}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{应用举例}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.6. 应用举例}

{\color{red} 例子2.6.1. 什么是正交轨线族？}
%已知曲线族的等角轨线族、正交轨线族。

解答：下述两个微分方程的积分曲线族互为正交轨线族：
\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} = H(x,y), \hspace{1cm} 
\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{H(x,y)}.
\end{eqnarray*}

在 $(x,y)$ 平面上的任意一点，经过这一点的两个积分曲线相互垂直，即斜率互为负倒数。

\newpage 

\begin{figure}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.55\textwidth]{pic/ode-example-2-6-1.png}
\caption{例子2.6.1. 两族正交轨线}
\end{figure}

\newpage 

{\color{red}例子2.6.2. 建立人口总数关于时间变化的微分方程模型。}

解答历史：

1798年：Malthus 模型，{\color{blue} $\frac{dN}{dt} = rN$ }. 相对增长率 $r$ 保持不变。

1838年： (Verhulst) Logistic 模型：{\color{blue} $\frac{dN}{dt} = (a-bN)N$ }. 增长极限为 $a/b$. 

\begin{figure}
\includegraphics [height=0.4\textheight, width=0.6\textwidth]{pic/ode-example-2-6-2.png}
\caption{例子2.6.2}
\end{figure}

\newpage 

{\color{red}问题：举例说明指数函数与Logistic函数的图像的区别。}

解答：

\begin{figure}[ht]
\includegraphics [height=0.4\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-example-2-6-2-plus.png}
\caption{左图 $y=e^{0.5x}$, 右图 $y=\frac{6}{1+e^{-0.5x}}$. }
\end{figure}

\newpage 

{\color{red}问题：求解微分方程 $\frac{dN}{dt} = rN$. }

解答：分离变量法可得。

\begin{eqnarray*}
\frac{dN}{dt} = rN 	&\Rightarrow & 	\frac{dN}{N} = rdt \\ 
				&\Rightarrow &	\int \frac{dN}{N} = \int rdt \\ 
				&\Rightarrow & 	\ln N = rt +C.
\end{eqnarray*}

\newpage 

{\color{red}问题：求解微分方程 $\frac{dN}{dt} = (a-bN)N$. }

解答：分离变量法可得
\begin{eqnarray*}
\frac{dN}{dt} = (a-bN)N 
\Rightarrow \frac{dN}{(a-bN)N} = dt  
\Rightarrow \int \frac{dN}{(a-bN)N} = \int dt. 
\end{eqnarray*}

计算待定系数 $A,B$ 化简左边的积分表达式
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{(a-bN)N} = \frac{A}{a-bN} + \frac{B}{N}. 
\end{eqnarray*}

\newpage 

{\color{red}例子2.6.3. 研究捕食者与被捕食者的生态问题。} 

解答：建立模型，设捕食者总数为 $x(t)$, 被捕食者总数为 $y(t)$, 考虑微分方程组
{\color{blue}
$$
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& x(-\lambda + \sigma y), \\
\frac{dy}{dt} &=& y(\mu - \delta x). \\
\end{array}\right.
$$
}
其中 $\lambda, \sigma, \mu, \delta$ 为待定参数。

求解模型：给定一段时间的捕食者和被捕食者的数据，估计这些参数 $\lambda, \sigma, \mu, \delta$ 的值，并衡量该微分方程模型能否准确地反映这些数据。

参考文档：
{\tiny  
\url{https://scipy-cookbook.readthedocs.io/items/LoktaVolterraTutorial.html}
}

\newpage 

两式相除，消去 $dt$, 可得 
\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} = \frac{y(\mu - \delta x)}{x(-\lambda + \sigma y)}. 
\end{eqnarray*}

分离变量法可得
\begin{eqnarray*}
\frac{-\lambda + \sigma y}{y} dy= \frac{\mu - \delta x}{x} dx. 
\end{eqnarray*}

两边积分可得通解 
$ 
-\lambda \ln y + \sigma y = \mu \ln x - \delta x + C, 
$
其中 $C$ 是任意常数。

\newpage 

\begin{figure}[ht]
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.6\textwidth]{pic/ode-example-2-6-3.png}
\caption{例子2.6.3的相图}
\end{figure}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题2-1 }

%\begin{enumerate}

%\item  
判断下列方程是否为恰当方程，并对恰当方程求解：
\begin{enumerate}\itemsep0.3cm
\item[1.]  $(3x^2-1)dx + (2x+1)dy = 0$.   
\item[3.]  $(ax+by)dx + (bx+cy)dy = 0$.   
\item[5.]  $(t^2+1)\cos u du + 2t\sin u dt = 0$.   
\item[7.]  $(y/x + x^2)dx + (\ln x - 2y)dy = 0$.   

\end{enumerate}

%\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题2-2 }

\begin{enumerate}\itemsep0.3cm

\item  求解下列微分方程，并指出在平面上有意义的区域：
\begin{enumerate}
\item[1.1.]  $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$. 
\item[1.2.]  $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y(1+x^3)}$. 
\end{enumerate}

\item  求解下列微分方程的初值问题：
\begin{enumerate}
\item[2.1.]  $\sin 2x dx + \cos 3y dy = 0, \,\, y(\pi/2) = \pi/3$. 
\item[2.2.]  $xdx + ye^{-x}dy =0, \,\, y(0)=1$. 
\end{enumerate}

\item  求解下列微分方程，并作出相应的积分曲线族的简图：
\begin{enumerate}
\item[3.1.]  $\frac{dy}{dx} = \cos x$. 
\item[3.2.]  $\frac{dy}{dx} = ay$. 
\end{enumerate}

\item[4.] 设某A从Oxy平面上的原点出发，沿$x$轴的正方向前进；同时某B从点$(0,b)$开始跟踪，即B的运动方向始终指向A并与A保持等距$b$. 求B的运动轨迹。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题2-3 }

\begin{enumerate}\itemsep0.3cm

\item  求解微分方程：
\begin{enumerate}
\item  $\frac{dy}{dx} + 2y = xe^{-x}$. 
\item  $\frac{dy}{dx} + y\tan x = \sin 2x$. 
\end{enumerate}

\item  把下列微分方程化为线性微分方程：
\begin{enumerate}
\item  $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2y}$. 
\item  $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+y^2}$. 
\end{enumerate}

\item  设 $y=\varphi(x)$ 满足微分不等式 $y' + a(x)y\le 0,\,\, (x\ge 0)$, 求证：
$$\varphi(x) \le \varphi(0) \exp\left[ \int_0^x a(s)ds \right],\,\, (x\ge 0). $$

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题2-4 }

\begin{enumerate}\itemsep0.3cm

\item[1.1.]  求解微分方程 $y' = \frac{2y-x}{2x-y}$. 

\item[2.1.]  利用适当的变换，求解微分方程 $y'=\cos(x-y)$. 

\item[3.1.]  求解微分方程 $y' = -y^2 -\frac{1}{4x^2}$. 

\item[6.] 探照灯的反光镜（旋转曲面）应该具有何种形状，才能使得点光源发射的光束反射成平行线束？
 
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题2-5 }

\begin{enumerate}\itemsep0.3cm

\item  求解下列微分方程：
\begin{enumerate}
\item[1.1.] $(3x^2y+2xy+y^3)dx + (x^2+y^2)dy = 0$.   
\item[1.2.] $ydx + (2xy-e^{-2y})dy = 0$.   
\item[1.3.] $(3x+\frac{6}{y})dx + (\frac{x^2}{y}+\frac{3y}{x})dy = 0$.   

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题2-6 }

\begin{enumerate}\itemsep0.3cm

\item[1.1.]   求与曲线族 $x^2+y^2=Cx$ 相互正交的曲线族。 

\item[2.1.]   求与曲线族 $x-2y=C$ 相交成 $\pi/4$ 角度的曲线族。 

\item[5.]  取地球半径为 $R=6437km$, 地面上的重力加速度为 $g=9.8m/s^2$, 又设质量为 $M$ 的火箭在地面以初速度 $v_0$ 垂直上升。设不计空气阻力和其它任何星球的引力，求火箭一去不复返的最小初速度 $v_0$.   

\item[6.]  设某社会的总人数为 $N$, 某段时间流行一种传染病，患者人数为 $x$. 设传染病人数的扩大率与患病人数和未患病人数的乘积成正比。试讨论传染病患者人数的发展趋势，并以此解释对传染病患者进行隔离的必要性。


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
